無限井戸型ポテンシャルの波動関数

次のポテンシャルに束縛された粒子を考える $$ V(x)=\begin{cases} \infty & (x\lt,a\lt x)\\ 0 & (0\leq x\leq a) \end{cases} $$ このポテンシャルのもとで定常状態のシュレディンガー方程式を解き、固有状態の\(\phi (x) \)および固有エネルギー\(E \)を求めよ。また基底状態、第1励起状態、第2励起状態の確率密度を図示せよ。

Ⅰ\(x\lt,a\lt x\)のとき シュレディンガー方程式

$$ \left(-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{d ^2}{dx ^2}+V(x)\right)\psi =E\psi $$

が成り立つのは\(\psi=0\)である

Ⅱ\(0\leq x\leq a\)のとき シュレディンガー方程式より

$$ -\frac {\hbar ^2}{2m}\frac {d ^2\psi }{dx ^2}=E\psi $$

で\(E\geq 0\)であることに注意して、一般解は\(k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar ^2}}\)として

$$ \psi(x)=A\cos kx +B\sin kx $$

次に境界条件より\(\psi (0)=\psi (a)=0\)より\(A=0,\ B\sin ka=0\)
\(B=0\)の自明な解を除いて、\(ka=n\pi \ \ (n=1,2,\cdots )\)よって

$$ E_n=\frac{\hbar ^2}{2m}\left(\frac{n\pi }{a}\right) ^2 \\ \phi =B\sin \left(\frac{n\pi }{a}x\right) $$

規格化より

$$ \begin{eqnarray} 1&=& \int_{-\infty}^{\infty}|\phi | ^2dx \\ \end{eqnarray} $$

$$ \begin{eqnarray} &=& \int_{0}^{a}B ^2 \sin ^{2}\left(\frac{n\pi }{a}x\right)dx \end{eqnarray} $$

$$ \begin{eqnarray} &=& B ^2 \frac{a}{2} \\ B &=& \sqrt{\frac{2}{a}} \end{eqnarray} $$

よって\(\phi (x)=\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{n\pi }{a}x\right) \)でもとまる。